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    • define: 定积分与积分变量无关，也就是说它还可以等于 $\int_{a}^{b}f(t)dt$，对于任意的一个实数x，我们还可以定义一个变上限函数 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt$
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高等数学

函数-极限-连续(function-limitation-continuous)

函数

积分中值定理: $\int_{a}^{b} f(x)dx = f(\varepsilon)(b-a), a<\varepsilon < b$
拉格朗日中值定理: $f(b)-f(a) = f'(\varepsilon)(b-a), a<\varepsilon < b$

define:自变量，表达式

• f(x+1)的定义域是[0,a],那么指的是x $\in$ [0,a]
  • f(x)的定义域就是[1,a+1]
• 隐函数(具有普适性)
  • 事实上，函数的定义，本来就是变量随变量变化，在显函数中，右端的x本来就是自己的函数。所以显函数可以看作隐函数，更大范围来说，不存在显隐，都是叫函数，方程中的每个变量都是一个函数，是关于谁的函数都可以.
    • 比如，V= x³ 不仅可以看成是V关于x显函数，也可以这么看: V和x都是关于t的函数，那么可以写成 V(t)=[x(t)]³
    • 问V关于t的变化率和x关于t的变化率之间的联系？
      • 左边，V关于t的变化率，即表示为dV/dt右边为复合函数，那么用复合函数求导公式，则答案为: dV/dt = 3x²dx/dt
• 反函数：
  • y的值是随x变化, 所以y是x的函数，记做y=f(x)
  • 同样还是这个函数, 把x看作是随 y的值变化, 那么同理x也是y的函数, 暂且记做x=g(y)
  • 通俗一点的话, 因为从x到y的规则与y到x的规则互逆, 因此叫逆函数或叫反函数。因此可以记做 $x=f^{-1}(y)$.
    • 注意这里的-1并不是指数, 而是表示互逆关系。
  • 不管 y=f(x) 还是 $x=f^{-1}(y)$ ,只是写法不同而已, 本质上还是一个东西, 几何图像当然也 是一样。
  • 但是$x=f^{-1}(y)$ (即y=f(x)) 与$y=f^{-1}(x)$ 是把x和y换了个位置, 也就是y=x。那么这两个图像就关于直线y=x对称了．

nature:

• 有界性
  • 从一个例子开始:$\frac{1}{x}$
  • 闭区间[a,b]：闭区间连续 --> 一定有界
  • 开区间(a,b)：开区间连续 && $f(a^{+})$, $f(b^{-})$ $\exists$
  • f'(x)在有限空间(0, 1)上连续 ---> f(x)在区间(0,1)上有界。
    • 变化率有限，那么它自己可能有界。
• 单调性
  • 与导数的关系f'(x)>0(<0), 单调递增或递减
  • 应用
    • 解的个数。
    • x $\in$ (a, b], 且f(a)=0,f(x) $\uparrow$, $\Rightarrow$ f(x)>0
• 奇偶性
  • 判断奇偶
    • 判断是否是奇函数，验证 f(x)+f(-x)是否为0 ==> f(x)-f(-x) 必为奇函数(其中f(x)是任意你函数)
    • 判断是否是偶函数，验证 f(x)-f(-x)是否为0 ==> f(x)+f(-x) 必为偶函数(其中f(x)是任意你函数)
  • 如果f(x)可导
    • f(x)奇函数 ==> f'(x)偶函数
    • f(x)偶函数 ==> f'(x)奇函数
    • 连续的奇函数，它的原函数是偶函数 $(x^2 + k)'$ == 2x
    • 连续的偶函数，它的原函数只有一个是奇函数(C==0) $(x^3 + k)'$ == $3x^2$
  • 如果f(x)连续
    • f(x)奇，则 $\int_{0}^{x} f(x) dt$ 偶，$\int_{a}^{x} f(x)dt$ 偶（$\int_{a}^{x} = \int_{a}^{0} + \int_{0}^{x}$; 其中$\int_{a}^{0}$常数）
    • f(x)偶，则 $\int_{0}^{x} f(x) dt$ 奇，$\int_{a}^{x} f(x)dt$ 不确定（$\int_{a}^{x} = \int_{a}^{0} + \int_{0}^{x}$; 其中$\int_{a}^{0}$常数, 当它为0的时候可以确定）
• 周期性
  • f(x)周期 $\rightarrow$ f'(x)周期
  • f(x)周期 $\nleftarrow$ f'(x)周期
    • 一个周期上积分为0
  • $sin^n$
    • n为奇，$T=2\pi$, eg $sin^5$
    • n为偶，$T=\pi$, eg $sin^2$

application:

• $[\int_{0}^{x}xf(t)dt]'$ =?= xf(x)
  • $[x \int_{0}^{x}f(t)dt]^{\prime}=\int_{0}^{x}f(t)dt+xf(x)$

• 题型一：复合函数
  • f(x+1)的定义域为[0,a],则f(x)定义域为？
    • [1, a+1]
• 题型二：函数性态
  • 选择，证明, (定义*)

---

极限:

define：

• 左==右边, 且极限存在(无穷大算不算极限存在呢？)
  • 狭义上：
    • 极限无穷大是极限不存在 的一种情况。
    • 左右极限不相等也是极限不存在 的一种情况。
    • 在正负无穷之间来回震荡是另一种极限不存在的情况。
• 函数-数列极限
• 无穷小
  • 首先我们要正确认识无穷小, 简单来说无穷小就是以 0 为极限的函数。
    • 那么说到函数极限, 自变量有两个过程:
    • 其中一个过程是x趋近于 $x_{0}$ 时, f(x)趋近于0，即 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}$ f(x)=0，我们就说f(x)为x趋近于$x_{0}$时的无穷小;
    • 另一个过程是x趋近于 $\infty$ 时,f(x)趋近于0, 即 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}$ f(x)=0, 我们就说f(x)为x趋近于 $\infty$ 时的无穷小。所以我们说无 穷小就是以0为极限的函数。
  • 高阶-低阶-同阶-k阶-等价
  • 需记住的等价无穷小
    • 看图来记住 --- 相邻差 $\frac{1}{2}x^2$
    • 反对幂指三，反过来 --- 相邻差 $\frac{1}{6}x^3$
    • 泰勒公式
      • $1-cos^a x \sim \frac{a}{2}x^2$ ???
      • (ln(1+x))'->幂：$(1+X)^\alpha-1 \sim \alpha X$
  • 无穷小的比较
    • 相除
    • 等价-导数-泰勒(定阶)
    • ⚠️基础卷五-3
  • 无穷小运算法则:和差低阶

nature:

• 函数极限与数列极限联系

• 海涅定理（归结原则）:$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A \Leftrightarrow 对{\color{Red}任意以x_{0} 为极限的数列,都有} \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A$
  • 所以只有一个数列是不能推出函数的极限

• 数列的收敛:直观的感觉是怎么样的？

• 数列 $\left\{(-1)^{n}\right\}$，n为偶数时都是1, n为奇数时都是-1; 该数列有无穷个1,有无穷个-1, 即无穷个点分别聚在这两个点处, 这两个点都称为是聚点
• 数列 $\left\{1+\frac{1}{n}\right\}$, 无穷个点越来越聚在1处, 这个1也是聚点。
  • 任意一个数列，只有三种情况：
    • (1) 趋于$\pm \infty$——>发散
    • (2) 有不止一个聚点——>发散
    • (3) 只有一个聚点——>收敛

• 数列的子列:有一个子列收敛，就是有一个聚点。若数列有两个子列收敛于不同极限(两个不同聚点)，则原数列必发散。

• 利用保号性/有序性来判断数列的极限/函数(数列)结合起来的极限

• 判断收敛有界:单调有界/夹逼定理

  

  • 常用的判断函数:$\left\{\begin{array}{l} f(x)=1 \\ f(x) = sin\sqrt{n} \\ f(x) = sin\frac{1}{n} \\ f(x)=\frac{sinx}{x} \\ f(x) = arctanx \end{array}\right.$

---

• 有唯保序:
  • 有界，
  • 唯一性
    • 若数列(函数)的极限存在,则此极限唯一
  • 保号性:${\color{Red} '保号'说明大小符号是优先保证,顺序次要->反着来推导由A->f(x),且符号要一模一样}$
    • $\text { 设 } \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A>0 \text {, 则存在 } \delta>0 \text {,当 } x \in \dot{U}\left(x_{0}, \delta\right) \text { 时, } f(x)>0 \text {. }$
  • 有序性:${\color{Red} '有序'说明顺序是优先保证(正着来推导由f(x)->A),符号次要不要求一模一样}$
    • $\text { 设 } \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A, \text { 且 } f(x)>0 \text {, 则必有 } A {\color{Red} \geq} 0 \text {. }$
• 重要公式/定理
  • 二个重要极限 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{sinx}{x}$; $\lim \limits_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$
    • 重要极限的由来-求极限非常易错的点（先求了某个极限，然后重新代入跟剩下的一起求）
  • 两个收敛准则数列的收敛性
    • 单调有界准则：
      • 当遇到含有递推公式($a_{a+1}=f(a_{n})$),证明数列收敛,==>$\lim \limits_{n\to\infin}X_n$ 存在
        • ${x_n}$单增有上界,级数收敛
        • ${x_n}$单减有下界,级数收敛
  • 极限的四则运算
    • $\exists + 不\exist = 不\exist$
    • $不\exists + 不\exist = 不确定$
    • $\exists * 不\exist = 不确定$
    • $不\exists * 不\exist = 不确定$
    • 拆极限存在，提极限不为零

application:

• 求极限
  • 函数极限：
    • 两个重要极限
    • 定型-化简-定法(拆极限存在，提极限不为零)
      • 定形：化为 $\frac{0}{0}, \frac{\infin}{\infin}$
        • 在定型的前，一般判断所求极限的函数是否是<反对幂指三>这五种类型,如果不是，比如是绝对值这种，那么就要用分左右极限/...，化去绝对值符号。
        • 幂指类型的 $1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0}$
          • e抬底法: 上面三种都可以使用; $(1+x)^x -1$ 看到-1，需要有感觉联想到 $(e^x-1)$ ~ x
          • $1^{\infty}$: 除了抬底法外，可以先用抬底法+再用[二个重要公式中(分母在$x->x_0$时，分母为1)]
            • 具体看上面链接的图片
        • 用到的(ln<->e)的相关极限：
          • 抬底法:x ===> $e^{ln^x}$; 换e底.
          • 重要极限,它的结果为e,可以用与剩余部分再次结合: $\lim \limits_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$
          • 等价无穷小/泰勒公式:
            • $e^x=1+x ; e^x-1=x;$
            • $ln^{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+....$
              • 图像记忆法连接起来 $e^x-1=x=ln^{x+1}$
      • 化简：
        • 拆：表明是先拆开，还在极限内(+/-号联立)，然后把分别求极限。
        • 提：提这个字就表明时提到了极限的外面去了。
      • 定法:
        • $\frac{0}{0}$:洛必达，泰勒，定义。
          • 泰勒公式麦克劳林
            • 阿坷她太浪->把!给丢了。
        • $\frac{\infin}{\infin}$: 洛必达，抓大头，同除最高阶。
        • 洛必达TODO

---

• 数列极限:

  

  • 不定式:改写为函数极限;$\overset{n=x;x->+\infty}{->}$再取洛必达法则
  • 式子三种形式: ${\color{Red}\hookrightarrow}$
    • n项求和
      • 夹逼定理
      • 定积分定义
    • n项连乘
      • 夹逼定理
      • 取对数转为n项和
    • 有递推关系: 令$x_{n+1}=f(x_n)=右边的g(x_{n-1})$

      

• 倘若f'(x)>0,证明数列有单调性(可能数列是递增数列/也可能是递减数列)
  $$\left\{\begin{array}{l} 令x_{n+1}=f(x_n),也就是说x_2 =f(x_1) \\ \\ \left\{\begin{array}{l} 假设 f'(x)>0 且 x_1＞x_2 \\ 则f(x_1)＞f(x_2) \\ 等同于: x_2＞x_3 \\ 综上: x_1>x_2>x_3,所以数列递减 \end{array}\right. \\ \\ \left\{\begin{array}{c} 假设 f'(x)>0 且 x_1<x_2 \\ 则f(x_1)<f(x_2) \\ 等同于: x_2<x_3 \\ 综上: x_1<x_2<x_3,所以数列递增 \end{array}\right. \end{array}\right.$$
  • 单调性判定：
    • 相除/相减/拉格朗日中值定理
    • 原理
  • ⚠️有界判断:
    • 验-假-验
    • ${\color{Red} \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} }$
      • 算术平均,绝对没有平方

• f'(x)<0,数列没有单调性(类似于振荡的趋近于某个极限)
  • $\left\{\begin{array}{c}\left|x_{n+1}-A\right|<B\left|x_{n}-A\right| \\ 0<B<1 \end{array}\right. > \left\{\begin{array}{l} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \\ \left|x_{n+1}-A\right| \overset{并将x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)代入}{------>} \left|f\left(x_{n}\right)-A\right| \end{array}\right.$
    • 此时想办法往 $B\times\left|x_{n}-A\right|$ 去变化, B<1, 那么就有递推式: $\left|x_{n+1}-A\right|<B\left|x_{n}-A\right|<B^{2}\left|x_{n}-A\right| \ldots<B^{n}\left|x_{1}-A\right|$
    • $$且当 n \rightarrow \infty 时: B^{n}=0 , 这样的话: \left|x_{n}-A\right|=0 , 即 x_{n}=A \\ 那么B如何求呢? 一般是通过将所构造的 \left|f\left(x_{n}\right)-A\right| 通分, 提取等方法化简出来 x_{n} , \\ 然后将 x_{n} 前面的一连 串东西提取到绝对值外面, 即 \square\left|x_{n}-\Delta\right| , 然后通过放缩来确定 \\ \square 是小于 1 , 此时取它们之间的一个常数为 B, 而 \Delta 在绝对值中进行变形转变为A$$

---

• 分析极限中未知函数的性质 ：先看外再看里
  • 看外看符号: f(x)的符号: 局部保号性（有界性）
  • 看里: f(x)的极限: 四则运算，分式->A,当分母->0 => 分子->0
    • 导数：上面求出了，在某点的极限，如果再添加一个条件：f(x)连续/在某点连续，那么由连续的定义，可求出在此点导数定义公式。
      • 不加这个条件就不对
  • 表达式: f(x)的表达式,与泰勒公式结合: 极限与无穷小的关系

---

• 一些判断极限存在应用准则:
  • $\lim \limits_{n \rightarrow \infin} a_n = a \to \lim \limits_{n \rightarrow \infin} |a_n| = a$,
    • 当$a \ne 0$, 反之不成立。(怀疑震荡)
    • 当$a = 0$, 反之成立。
  • 无界*无界 $\ne$ 无界
    • [0, 1, 0, 2...]*[1,0,2...]

• 想问极限存在的问题, ⚠️三种:幂函数/绝对值/分段函数(都是当趋向左右$x^-/x^+$的时候，发生很大的转变的函数)
  • 讨论连续性及间断点类型
    • 找无定义的点(分母为零;ln在0处没有定义)
    • 左右极限，($lnx, e^x, arctanx$) 本质还是求极限的
      • 何时需要计算左右极限呢？
        • 图像左右趋向于∞，值不相等的函数(一般为指数函数):当从 $-\infty->0$; 当从 $\infty->\infty$
          • $e^x$ 指数位置：从图像上可以看出来，$f(x)=e^{\frac{b}{x-a}}$
          • $2^x$
        • 分段函数分段点处
        • 绝对值转折点,求绝对值的转折点的时候，一定要把绝对值符号去掉。$\lim \limits_{x \rightarrow 0^-}$ ,让它趋向于一边，然后就可去掉绝对值符号了。
  • 如果要求一个极限,比如$\lim \limits_{x \rightarrow 1}\frac{|x(x^2-1) \cdot \sqrt[3]{x+1})|}{x-1}$,当把x->0代入分子,它不应该等于0？然后还判断这个极限是否存在干什么？(此时认为不要从$1^{-} | 1^{+}$去分别求极限了),$\overset{如果此极限只有|x^2-1|这一项，其他的不存在，那么的确是这样的就能得到结果}{\rightarrow} \overset{上面主要犯了，有其他项的存在，当｜x^2-1｜->0, 其它项也同时->0,这就引出了{\color{Red} \bold{未定式}}的概念}{\rightarrow}$
    • $\lim \limits_{\Box \rightarrow 0} \frac{|\Box|}{\Box}$,这种形式$\left\{\begin{array}{l} \lim \limits_{x->0}\frac{|x|}{x} \\ \lim \limits_{x->1}\frac{|x-1|}{x-1} \end{array}\right.$
      • 如果其他项能打断它,那么它的极限存在，否则不存在:
        • $\lim \limits_{x->-1}{|x||x-1|\frac{|x+1|}{x+1}\sqrt[3]{x+1}}$,被$\sqrt[3]{x+1}$打断了。
    • 思考y=|x|;y=$x^(\frac{1}{2})$;y=$x^(\frac{1}{3})$ 在x=0处是否可导？
      • 1>先使用函数求导的方法，然后把0代入，看是否有意义。 $y'=\frac{1}{3}*x^(-\frac{2}{3})$,代入0无意义。
      • 1>使用公式法。

• 渐近线:求渐近线就是求的极限，看极限的总体方法。

  

  • 水平: $\lim \limits_{x \rightarrow \infin} f(x)= A$
  • 垂直: $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x)= \infin$
    • 需要无定义点；注意当x->$0^+$时为无穷大，也是一个铅直渐近线。
  • 斜: $\lim \limits_{x \rightarrow \infin} \frac{f(x)}{x}= a$; $\lim \limits_{x \rightarrow \infin} (f(x)-ax)= b$ 则f(x)=ax-b

连续:

define: 左 == 右 == $f(x_0)$

• 间断点：间断点 $x_0$ 处的值一定是不存在或者存在且不同时等于该点处左右极限的值的
• 第一类间断点（左右极限值都存在）：
  • 可去间断点（左右极限值相等但不等于该点函数值f(x0)或者该点无定义时）: 在该点处有极限，左右极限值即为在该点的极限值。
  • 跳跃间断点（左右极限都存在但不等）: 在该点无极限。
• 第二类间断点（左右极限值至少有一个不存在）：
  • 无穷间断点（在该点处左右极限至少有一个为无穷大）: 在该点处极限值为无穷大。
  • 震荡间断点（在该点处无定义且函数值在趋向该点时在某个区间内来回震荡）: 在该点处无极限。

nature:

• 连续函数的和差商积及复合函数仍然连续。
• 基本初等函数再其定义域上连续，初等函数在定义区间连续。
• 闭区间上连续函数：( ${\color{Red}有介最零 \cdot (有介意就等于0了)}$ )
  • 有界性： f(x)在[a,b]上连续，则有界。
  • 介值定理：f(x)在[a,b]上连续, f(a) $\ne$ f(b); 任意 $C \in$ f(a)到f(b)之间，则存在 $\varepsilon \in (a,b),使得f(\epsilon) == C$ .
  • 最值定理: f(x)在[a,b]上连续,则存在Mm.
  • 零点定理：f(x)在[a,b]上连续, f(a)*f(b)<0, 则存在 $\varepsilon \in (a,b),使得f(\epsilon) == 0$ .
• 可微-可导-连续-可积-有界⚠️

  • (1):原函数可导 ==> 导数定义 ==> 拉格朗日中值定理 ==> 与第一件间断点这个条件冲突。

    • F(x)原函数，f(x)导函数; 其中原函数可导 ==> $\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F\left(x_{0}+\Delta x\right)-F\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$ 成立 ==> $F(x_{0}+\Delta x)-F(x_{0})=\Delta x F^{\prime}(\xi)=\Delta x f(\xi), \quad x_{0}<\xi<x_{0}+\Delta x$ ==> $\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} f(\xi)$ ==> $f\left(x_{0}\right) = \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}+} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}-} f(x)$ ==> 所以第一类间断点没有原函数。

  • (2)

  • (3):https://kaoyan.wendu.com/2016/0628/93894.shtml

  • 原函数与变上限积分对f(x)要求的差别:原函数要求某点处$F(x_0)$导数值必须等于$f(x_0)$; 变限积分是个面积啊，只需要a到$x_0$(泛指任意一点)这段面积表达式的导数值存在即可;在第一类间断点，可去间断点处，差异很大
    $$\begin{array}{l} F(x)在[a, b]可导， x_{0}\in[a, b] \\ F'(x) = \lim \limits_{x \to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} \\ \overset{洛必达}{=} \lim \limits_{x \to x_0} F'(x) \overset{由前面的假设F(x)在区间[a,b]可导}{=} \lim \limits_{x \to x_0} f(x) \\ \left\{\begin{array}{l} <1>: 如果上式\lim \limits_{x \to x_0} f(x)若存在，反推可得F'(x_0)存在 \\ <2>: 设F'(x_0) = f(x_0); \overset{接上式}{=} f(x_0) \\ \end{array}\right. \end{array}$$

    • <1>:如果变限积分F(x)若可导，仅需某点导数值 $F'(x_0)=\lim \limits_{x \to x_0}f(x)$,是f在某点的极限值==> 即便f(x)在某点是可去间断点的话，变限积分也可导。
    • <2>:原函数要求的等于f(x)在这一点的值。

  • 可积与连续的关系⚠️：连续一定可积, 但是可积却不一定连续.

    • 定理1: 设f(x)在区间[a, b]上连续,则f(x)在[a, b]上可积.
      • 这个定理说明, 连续的函数是可积的
    • 定理2: 设f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点,则f(x)在[a, b]上可积.
      • 这个定理说明,不连续的函数有有限个间断点的函数也可以是可积的

  • 可导与可积的关系⚠️：因为可导必定是连续的，而连续的一定可积，所以可导就一般可积（虽然可积规定要在闭区间里，但是在高等数学范围内还是可以这样认为的），可积却不一定推出可导，因为可积还有可能不连续，不连续一般是不可导的。

  • 有界不一定可积: 狄利克雷函数

    • f(x)=1（x是有理数的时候）；=0（x是无理数的时候）; 那么f(x)在x为任意实数的时候，只有1和0两种取值，所以f(x)是有界的。
      • 但是在任意区间内（无论是开区间还是闭区间），都有无数个有理数和无理数。所以f(x)在任意区间内都有无数个间断点，所以这个函数在任意区间内都不可积。
    • 定理2: 设f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点,则f(x)在[a, b]上可积.

  • 连续则原函数存在，连续则可积

    • (原函数存在定理⚠️)如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则积分上限函数 $\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t$ 就是f(x)在区间[a, b]上的一个原函数.

  • 原函数存在的话函数一定可积，函数可积但原函数不一定存在

    • 一个可积的函数，但是没有原函数: 函数可积时，函数是可以有第一类间断点的。但是有第一类间断点的函数是没有原函数的。例如取整函数f(x)=[x]，这个函数是可积的（例如 $\int_{1}^{3}f(x)dx$ =1+2=3(是两个阶梯的面积)，但是它没有原函数，因为x=2(实际上，x等于任何一个整数)是它的第一类跳跃间断点。因此他没有原函数。

application:

• 介值定理，最值定理，零点定理。

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导数与微分（一元微分）

define:

• 导数:
  • $f^{\prime}\left(x_{0}\right) = \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$
  • $f\left(x_{0}\right) = \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$
    • 分子：一动不动
    • 分母：分子横坐标之差
    • 分母：$0^+, 0^-$
• 微分:
• 连续/可导/可微
• ⚠️可导可微几何意义
  
• 极值点/最值点/驻点/拐点(回归到原函数的中，才能记住它的定义)

  • ${\color{Red} 极值点与拐点对比⚠}$
    • 驻点: 一阶导数为0的点。
    • 拐点: 函数凹凸性发生改变的点。
      • 考察的点是驻点(f'(x)=0)和不可导点，不可导点只能使用第一充分条件/定义来判断；驻点(f'(x)=0)一般优先使用第二充分条件来判断。
      • 求极值点与拐点，他们有对应关系，一阶导二阶导；二阶导三阶导。

        

  • 最值点: 最值若在内部取得，必为极值。
    • 设f(x)三阶可导,且 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ , 但 $f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ,则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 为曲线y=f(x)的拐点.
• 弧微分,曲率与曲率半径
  • 弧微分的基本公式: $(\mathrm{d} s)^{2}=(\mathrm{d} x)^{2}+(\mathrm{d} y)^{2}$ , 其中：
    • (1) 设 L: y=f(x) , 则 $\mathrm{d} s=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x$ ;
    • (2) 设 $L:\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t), \\ y=\psi(t),\end{array}\right.$, 则 $\mathrm{d} s=\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t$;
    • (3) 设 L: $r=r(\theta) , 则 \mathrm{d} s=\sqrt{r^{2}(\theta)+r^{\prime 2}(\theta)} \mathrm{d} \theta$ .
      • $$\left\{\begin{array}{l} ds=\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}} \\ 直角坐标: ds=\frac{\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}}}{d x} d x=\sqrt{1+y^{\prime 2}} d x \\ 参数方程: \left\{ \begin{array}{l} x=x(t) \\ y=y(t) \end{array} ;\quad ds=d s=\frac{\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}}}{d t} dt=\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}} dt\right. \\ 极坐标:\quad \begin{array}{l} x=r(\theta); \quad \begin{array}{l} x=r(\theta) \cos \theta \\ y=r(\theta) \sin \theta \end{array} \quad \begin{array}{l} x^{\prime}=r^{\prime}(\theta) \cos \theta-r(\theta) \sin \theta \\ y^{\prime}=r^{\prime}(\theta) \sin \theta+r(\theta) \cos \theta \end{array}; \quad \quad ds=\sqrt{r^{2}+r^{\prime 2}} d\theta \end{array} \end{array}\right.$$
  • 曲率: 表示弯曲的程度$\overset{那么就是角度/长度的比值}{\longrightarrow} \frac{d\alpha}{ds}$
    • 曲率计算公式: $k=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$.
      • $d\alpha / ds$,其中$\mathrm{d} s=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x$,就是它的分母。
      • ${\color{Red} 分子y''不需要平方(y'')^2,因为有绝对值符号,不管平方加在绝对值里面还是绝对值外面,对绝对值来说都是多余的,so分子肯定是没有平方的}$
    • 曲率半径计算公式:曲线的一小段当成圆圈:$R=\frac{1}{k}$.

• 切线与法线:切线斜率与法线斜率相乘等于-1
  • 函数y=f(x)在点 $x_{0}$ 处的导数 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$
    • 在几何上表示曲线 y=f(x) 在点 $M\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 处的切线的斜率, 即$f^{\ prime}\left(x_{0}\right)=\tan \alpha$
      • 其中 $\alpha$ 是切线的倾角.
  • 根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程, 可知曲线 y=f(x) 在点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的切线方程为 $y-y_{0}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$
  • 过切点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 且与切线垂直的直线叫做曲线 y=f(x) 在点 M 处的法线.
    • 如果 $f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ , 法线的斜率为 $-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}$ , 从而 法线方程为 $y-y_{0}=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}\left(x-x_{0}\right)$

nature:

• 微分中值定理

application:

• 导数的：
  • 导数和微分的概念:
    • 利用导数定义求极限---反向考察
    • ⚠️拼揍导数定义求导数（已知极限，可导）---正向考察
    • 判断是否可导
      • 分子：一动不动
      • 分母：分子横坐标之差
      • 分母：$0^+, 0^-$

• 计算:${\bold{\color{Red} (ln^{\sqrt{x}})' \overset{?}{=} \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})' = {\color{yellow} \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (x^{\frac{1}{2}})'一定不要忘记这个\frac{1}{2} } }}$

  

  • 熟记公式:
  • 复合函数求导($x^2+y^2=25 \longrightarrow y'=?$)
    • 隐函数求导
  • 参数方程求导⚠️($设y=y(x)由 \left\{\begin{matrix} x=t-sint \\ y=1-cost \end{matrix}\right. 确定，求\frac{d^2y}{dx^2} )$
    • $\frac{dy}{dx}$,不要写成$\frac{dy}{dt}.\frac{dt}{dx}$,而应该为$\frac{dy/dt}{dx/dt}$
  • 反函数求导⚠️. 把x与y理解成平等的地位，主要就三步
    • $自变量 \overset{函数f}{\longrightarrow} 因变量 \\ 原因变量 \overset{原函数f对应的反函数f^{-1}}{\longrightarrow} 原自变量$
      • 所以描述的都是一个点$(x_0, y_0)$, 描述的斜率是 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
      • 再拿上面的情形
        • $y=ln^x -> y'=\frac{1}{x} \\ x=e^y -> \frac{dx}{dy}=e^y \overset{再把y用ln^x替换}{\longrightarrow} = e^{ln^x} = x$
      • 得到证明:$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
    • 很容易搞混的是把 $y=ln^x,y=e^x$,求它们的导数，发现导数不是书上说的，$f'=\frac{1}{(f^{-1})'}$
      • 导数为图像的切线
      • 当成两个关于y=x对称的点
    • 首先把y对x改为易求导的x对y表达式; 仍然是同坐标，同图像。
    • 再两边对y求导;结果是$\frac{dx}{dy}$，而要求是$\frac{dy}{dx}$,的实际上是倒过来
    • 最后再把y用x表达即可
      • (这里要想方设法,往题设条件上面靠,比如 $y=arcsinx \overset{因为y与x的关联的地方就只有y=arcsinx,所以要把arcsin消去}{\longrightarrow} 就只有sin(arcsinZ)=Z$)
    • 检验一下
  • 对数求导
  • 高阶导数
    • 这里可以可以与求积分(表格法的分部积分)对照来看的

• 导数应用
  • 导数的几何意义
  • 方程的根存在性和个数：
    • 存在性：零点定理/罗尔定理
    • 个数：
      • 单调性
      • 罗尔定理推论:
        • 从原函数 f(x) 到多阶导数$f^n(x)$
          • (至少)存在两个根， f'(x)(至少)存在一个根
          • (至少)存在k个根， f'(x)(至少)存在k-1个根, $f^n(x)$存在k-n个根。
        • 从多阶导数$f^n(x)$到原函数 f(x) <--------反过来
          • (至多)存在k个根，f(x)(至多)存在k+n个根。
  • 证明函数不等式
  • 微分中值定理有关证明题

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https://zhidao.baidu.com/question/202371545397541045.html
https://www.yulucn.com/question/888414984
https://zhidao.baidu.com/question/758437011681060804.html

特征	常成对出现端点值	$对同一变量而言:\varepsilon (\eta)$ 在乘除法中出现的次数
罗尔	不出现端点值	一次
拉格朗日	成对出现端点值	一次
柯西	成对出现端点值	二次
\	${\color{Red} 不含导函数的在左边,含有导函数的在右边 }$

• 前提条件:

  • 看到: $f_{-}^{\prime}(b)$
    • 分析极限中未知函数的性质
    • $f_{-}^{\prime}(b)=\lim \limits_{x \rightarrow b^{-}} \frac{f(x)-f(b)}{x-b}>0 \Rightarrow x \rightarrow b^{-}, \frac{f(x)-f(b)}{x-b}>0 \Rightarrow x \rightarrow b^{-}, f(x)<f(b)=0$

• 罗尔定理:

  • define:闭连开导，两边等高，则存在其导数为零
    • 定理：设 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，又设 f(a)=f(b), 则至少存在 一点 $\xi \in(a, b)$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0;$
  • application
    • 判断零点有两种思路:什么时候使用罗尔定理，什么时候使用零点定理?
      • 罗尔是对原函数的研究
      • 零点是对同阶的研究
    • 至少存在一点 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f^{(n)}(\xi)=0$ 或其他函数形式的命题的证法:构造一个原函数
      • 取巧的方式:

        

        • 

      • $$通常的想法:\left\{\begin{array}{l} \left.\begin{array}{l} f^{\prime}(\xi)+ \lambda f(\xi)=0 \Rightarrow F(x)=e^{\lambda x} f(x) \\ \begin{array}{l} \alpha f^{\prime}(\xi)+\beta f(\xi)=0 \Rightarrow F(x)=e^{\frac{\beta}{\alpha} x} f(x) \\ f^{\prime}(\xi)+g^{\prime}(\xi) f(\xi)=0 \Rightarrow F(x)=e^{g(x)} f(x) \end{array}\\ f^{\prime}(\xi)+g(\xi) f(\xi)=0 \Rightarrow F(x)=e^{\int_{a}^{x} g(t) d t} f(x) \end{array}\right\} \begin{array}{l}f'上系数都是后面系数的分母;\\ \bold{f系数乘以它的原函数}是后面系数的分子 \end{array} \\ \xi f^{\prime}(\xi)+n f(\xi)=0 \Rightarrow F(x)=x^{n} f(x) \\ \xi f^{\prime}(\xi)-n f(\xi)=0 \Rightarrow F(x)=\frac{f(x)}{x^{n}} \end{array}\right.$$
        • 反正它是上面几个公式来出题，能变化也只有f(x)/g(x)/z(x)/...: $f^{\prime}(\xi)+k(f(\xi)-\xi)=1 \longrightarrow (f^{\prime}(\xi)-1)+k(f(\xi)-\xi) =0 \longrightarrow F(x)=e^{k x}(f(x)-x)$

• 拉格朗日中值定理

  • define: $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a), \quad a<\xi<b$
    • 判别:
      • 常成对出现端点值
      • $\varepsilon (\eta)$ 在乘除法中出现的次数(拉格朗日出现一次/柯西出现两次)
  • application:
    • 技巧:
      • 相同字母放一起，两端点值必须分离(af(b)+bf(a))
      • 从端点值/变量形式出发。
    • 不要求$\xi \ne \eta$: 分离中值,分别构造函数，分割。
      • 分离中值:将含有 \xi, \eta 的式子分别置于等式的两边。
    • 要求$\xi \ne \eta$: 分离中值,分割区间:
      • 利用题干条件;
      • 假设分割点，求出分割点的条件.

• 柯西中值定理:一般题目含有两个函数时, 为了证明某种不等式或等式

  • define: 如果函数f(x)及F(x)满足 (1) 在闭区间[a, b]上连续; 在开区间(a, b)内可导; (2) 对任一 $x \in(a, b), F^{\prime}(x) \neq 0$ , 那么在 (a, b) 内至少有一点 $\xi$ , 使等式 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$

• $\frac{f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)}{} \overset{\bold{柯西中值与拉格朗日中值很相像,只是把(b-a)约去了}}{\longrightarrow} \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}$

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• 中值定理的题目中出现积分:
  • 积分中值定理,用几何图像来记忆
  • 积分上限函数

    

• 中值定理的三大类型:

  

• 必须具备的逆向反应:$$\begin{array}{l} \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\overset{\overset{能快速推到左边端点值}{\color{Red}\Longleftarrow }}{=}\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} \\ \frac{f(b)-f(a)}{(b-a)}\overset{\overset{能快速推到左边端点值}{\color{Red}\Longleftarrow }}{=}f^{\prime}(\xi) \\ \left\{\begin{array}{c} (\frac{\pi}{2}-0) \overset{ \overset{{\color{Red}{相减}}的形式 \Leftarrow 把所有\color{Red}{单项/加项}}{\color{Red}\Longleftarrow } }{=} \frac{\pi}{2} \\ \frac{b^2-a^2}{(b-a)^2} \overset{ \overset{{\color{Red}{相减}}的形式 \Leftarrow 把所有\color{Red}{单项/加项}}{\color{Red}\Longleftarrow } }{=} \frac{a+b}{(b-a)} \\ \ln b-\ln a \overset{ \overset{{\color{Red}{相减}}的形式 \Leftarrow 把所有\color{Red}{单项/加项}}{\color{Red}\Longleftarrow } }{=} \ln \frac{b}{a} \end{array}\right. \end{array}$$

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常微分方程

define

• 定义:$F(y^{n},..., y', y, x)$, 其中最重要的是 $F(y^{n})$, 它是不能缺的。
  • 齐次就是整整齐齐，右边都是零。
  • 高阶
    • 可降阶(一般在具体的函数中使用，如果是抽象函数，那么无法使用):$F(y^{n})$要保留;
      • 1> 后面的三项都可以去
      • 后面两项都可以去: 2>去y 3>去x
        • 总的思想是令${\color{Red} y'=p=\frac{dy}{dx}}$
          • 所以当缺少y的时候,不变,因为本来就是对x的求导
          • 所以当缺少x的时候,${\color{Red} y可能存在,需从对x的求导,到对y求导; y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot p }$
  • ${\color{Red} 求高阶微分方程 }$

    

    • 解的三个部分中，当是三角函数的形式:$x^k; k只能是0，1$
    • 求齐次与非齐次的解的运算
  • 低阶
    • 三种类型的微分方程求解
      • 可分离变量(它一般不能化为齐次/非齐次线性方程)
      • 替换法则
      • 线性方程，使用公式法则

nature:

application:

• 先定型《一阶还是高阶》; 再找对应的方法

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• 能一眼辨认是通解还是特解？

  

• 根据特解的样子，如何判断它是齐次还是非其次的特解呢

  

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全微分

define

• 函数z=f(x, y)在点 $(x_{0}, y_{0})$ 可微分:

  • z=f(x, y) 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的全增量: $\Delta z=f(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y)-f(x_{0}, y_{0}) ===> \Delta z=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho)$
    • $如果 \lim \frac{\beta}{\alpha}=0, 那么就说 \beta是比\alpha高阶,记做\beta=o(\alpha)$
    • A, B 不依赖于 $\Delta x, \Delta y$, 而仅与 $x_{0}, y_{0}$ 有关，其中: $\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$
  • $\left.d z\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=A \Delta x+B \Delta y$
    • $A\Delta x+B\Delta y$ 称为函数z=f(x, y)在点$\left(x_{0}, y_{0}\right)$的${\bold{\color{Red} 全微分}}$记为dz TODO

• 函数在区域D内每一点均可微分,则称z=f(x, y)在区域D内可微分

当趋向某个横坐标的点，或平面的点，是某某的高阶无穷小。（趋向某个数时候，先达到0）

一元微分	二元微分
$\Delta y与dy$	$\Delta z与dz$

都是使用微分来近似实际的长度/面积 ==> 那么如何来近似呢？用数学语言 ==> 这个其实很重要，是否可微的定义 ==> 而且它与导数的定义还不一样(不是看分子一动不动，分母为分子横坐标,分母趋向于零)

$$\left\{\begin{array}{l} \lim \limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta y-A * \Delta x}{\Delta x}=0 \\ \left\{\begin{array}{l} \lim \limits_{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0)} \frac{\Delta z-(A \Delta x+B \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0 \\ \rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \end{array}\right. \end{array}\right.$$

如何记住?记住它是一个对$\rho$的高阶无穷小:$o(\rho)$ --> $\rho$等于? --> 再想下分母？(可以与直线微分做比较)

nature

• 二元函数的连续，要注意它的几何意义是从平面上任何方向趋近于某一点$(x_0,y_0)$,不能限定只从坐标轴上趋近于它
  • 二元函数连续
    $$\lim \limits_{x \to x_0 \atop y \to y_0} f(x, y)=f(x_0, y_0)$$
  • 偏导数连续(它的研究对象是函数，只不过这个函数是别人的导数)
    $$\left\{\begin{array}{l} \lim \limits_{^{x \to x_0} _{y \to y_0}} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \\ \lim \limits_{^{x \to x_0} _{y \to y_0}} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \\ \end{array}\right.$$
• 偏导数的求导定义与一元函数导数的定义相同(只有一个变量趋向于$x_0$)
  $$\begin{array}{l} \lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x, y_0)-f(x_0, y_0)}{x-x_0}=f_{x}^{\prime}(x_{0}, y_{0}) \\ \lim \limits_{y \to y_0} \frac{f(x_0, y)-f(x_0, y_0)}{y-y_0}=f_{y}^{\prime}(x_{0}, y_{0}) \end{array}$$

application

• 二元可导-可微-连续的判断

• 求偏导数/复合偏导 >求导是走路 >不管f对谁求导，求导后的函数与f有相同的关系图。
  • 可以直接看作复合函数的求导！！！
  • 隐函数存在定理
    • 直接法
    • 公式法
      

• 多元极值:${\color{Red}>}$驻点和B/A/C(一阶/二阶导?)是不同的,判断极大/极小需要使用A ${\color{Red}>}$ 拉格朗日乘数法
  • 无条件极值
    • 找驻点(f'x=0且f'y=0) + 二阶偏导存在: $\left\{\begin{array}{l}B^2-AC<0 取得极值 \left\{\begin{array}{c}A<0 极大 \\ A>0 极小 \end{array} \right. \\B^2-AC>0 不取极值 \end{array} \right.$
    • $\left\{\begin{array}{l}驻点+二阶偏导不存在 \\ 驻点 + B^2-AC=0 \\ 不可导点 \end{array}\right\}$ -> 回归定义
  • 条件极值
    • 找驻点(令f'x=0且f'y=0):在区域D内找,找到了要反过来验证是否在区域D内;
    • 找偏导数不存在;
    • 区域D边界上.
      • 当在区域内没有极大值极小值，故都在区域D的边界上取到。($B^2-AC > 0$)
  • 求极值方法:
    • 找驻点:$f'_x(x_0,y_0)=0且f'_y(x_0,y_0)=0$
      • 发现这个驻点了，然后验证是否是极值
        • 无条件使用B-AC<0? A<0极大值；A>0极小值。
        • 有条件，需要再次验证是否在区域D内。
    • 二阶偏导不存在的点。

一元积分

define: 定积分与积分变量无关，也就是说它还可以等于 $\int_{a}^{b}f(t)dt$，对于任意的一个实数x，我们还可以定义一个变上限函数 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt$

• 原函数： 若f(x)连续，则$\int f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+C$, 它的变上限积分是它一个原函数

• ⚠️⚠️变上限积分:
  • $(\int_{a}^{x} f(t) d t)^{\prime}=f(x)$
  • ${\color{Red} (\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)' = f(\phi(x)) \cdot \phi^{\prime}(x)-f(\varphi(x)) \cdot \varphi^{\prime}(x) }$
  • $(\int_{0}^{x} f(x)g(t)dt)' = (f(x) \cdot \int_{0}^{x}g(t)dt)'=分别求导$
  • 连续性
    • 可积函数的变上限积分函数，天然具有连续性吗？
    • ${\color{Red} 连续}$函数的变上限积分函数可导，且是它的一个原函数
  • 可导性
  • 奇偶性
    • 点击跳转
• 不定积分
  • 原函数的存在性
    • f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上必有原函数；连续->可积.
    • f(x)在区间I上有第二类间断点，则f(x)在区间I上 (可能)有原函数;
    • f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在区间I上无原函数.
• 反常积分
  • $\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim \limits_{t \rightarrow+\infty} \int_{a}^{t} f(x) dx$
• 定积分：定积分是一个数与积分变量无关。
  • 有界+?==可积
  • 可积的两个充分条件是什么？⚠️

nature

• 定积分：
  • 不等式
    • $|\int_{a}^{b}f(x)dx| \le \int_{a}^{b}|f(x)|dx$ ; <=== $|A+B| \le |A| + |B|$
  • 积分中值定理
    • 若f(x)在[a,b]上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\varepsilon)(b-a), a<\varepsilon<b$.
    • 若f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)不变号，则$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = f(\varepsilon)\int_{a}^{b}g(x)dx, a \le \varepsilon \le b$
• 变上限积分
  • 连续则原函数存在，连续则可积。
    • (原函数存在定理)如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则积分上限函数 $\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t$ 就是f(x)在区间[a, b]上的一个原函数.
  • 原函数存在的话函数一定可积，函数可积但原函数不一定存在
    • 一个可积的函数，但是没有原函数: 函数可积时，函数是可以有第一类间断点的。但是有第一类间断点的函数是没有原函数的。例如取整函数f(x)=[x]，这个函数是可积的（例如 $\int_{1}^{3}f(x)dx$ =1+2=3(是两个阶梯的面积)，但是它没有原函数，因为x=2(实际上，x等于任何一个整数)是它的第一类跳跃间断点。因此他没有原函数。

application

• 反常积分:
  • 三对三
    • 三种瑕点:无穷-无界-无穷+无界
    • 三种步骤:
      • 积分:看能否求出不定积分，然后代入求解
      • 极限:宗旨就是f(x)与g(x)两者比大小(小发大必发,大收小必收),比大小的形式,两者相除,无所谓谁上谁下,只要能得出大小

        

        • 怎么快速比出f(x),g(x)大小:等价无穷小/等价无穷大
          • 一般在等价无穷小中，高阶+底阶===>只要看低阶就行了，在反常积分审敛法中，则是看最高阶层(因为趋向于∞)
            • 判别法中的 $\lim \limits_{x \rightarrow .} \frac{f(x)}{g(x)}$ 无穷限情况下表示 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}$, 无界情况表示 $\lim \limits_{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)}$
            • 当无界函数的瑕点，一定要看清此时瑕点的阶，而不是总的阶
            • 小发大必发;大收小必收
            • 等价无穷小的替换(可以是$x->x_0; x->\infty$); 幂指函数>指数>幂函数>ln(x)
              • $f(x) \sim g(x) \Rightarrow \int_{0}^{x} f(t) d t \sim \int_{0}^{x} g(t) d t$
        • 假设f(x)是待判定的,如果设$g(x)=\frac{1}{x^k}, 摊平后h(x)=x^k$形式, ==>极限审敛发

          

          • $\lim \limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{\frac{1}{x^k}}=\lim \limits_{x \to \infty}x^kf(x) = c(c<\infty,且可以等于0)$
            • 则当$< \infty且\ne0$ 的时候，f(x)的的敛散性与$\frac{1}{x^k}$相同，
            • 当 $=0$ 的时候，由极限的定义，可以知道$\frac{1}{x^k}$远大于f(x),所以小发大必发-大收小必收,可以知道如果$\frac{1}{x^k}$收敛,则f(x)收敛
            • 广义积分收敛性，没有四则运算，它能通过上面的审敛法(看作两函数相乘，看极限来判断),去判断

• 变上限积分：
  • 求法：洛必达法则/等价无穷小/积分中值定理

• ⚠️不定积分计算方法：先看是不是有用分部积分的情况，没有的话就走流程
  • 总结:利用套路不可能所有的都能套进去:
    • 导数是一条路走到黑->;积分不一样->=>就像树一样,有很多分支,如果进入一个分支求不出来,立马回到父节点,找其他的兄弟,(比如遇到下面的$\sqrt{}$,至少有两种方法)
      • 看到根号，三角换元法，根式代换(可以是整体根式代换/也可以是部分$\sqrt{x}=t$)
        • 根号下平方和-->三角换元法

    • 

  • ⚠️基本公式和性质
    • 1.六卦图里面，左边和右边不会乱跑的。
    • 2.sec/csc只要是单数，它的积分结果还是有自己，如果是双数那么就不会有自己
    • 3.$sec -> sec^2 -> sec tan ; csc -> csc^2 -> csc cot$
    • 4.积分结果如果是ln那么需要加绝对符号
    • 5.$\sqrt{x^2 \pm a^2}$ 总是ln
  • 有理分式：凑(头重脚轻)/拆(头轻脚重)
  • 换元法:因为积分最好积的是多项式(有理式),所以从有理式->化根式->三角代换->最后又回到有理式.
    • 第一类:常规凑，三角凑
      • 寄凑统一;偶倍降次.
    • 第二类:根式代换，三角代换
      • 
    • 凑微分法就是第一类换元法 [u=f(x)]
    • 这个换元法就是书上的第二类换元法[x=f(u)]
      • 第一类换元法---与第二类的区别：u= g(x) --- x = g(u)
        • 方向不一样，x做孙子就是第一类; x做大爷就是第二类
        • 第一类并不一定在开始就要凑成u
        • 只有第一类做孙子的时候，才需要绕一圈来求dx,(不然第二类做大爷的时候，直接在左边dx就行了), $dx=\frac{1}{u'} du$ .
  • 分部积分
    • 分部积分法(反对幂指三；倒着来)
    • 反对幂指三；从右到左，越易积分，越难求导，所以看到反对幂就需要想到分部积分法。

• ⚠️三角函数积分

  • 组合积分法 (最简单)

    

  • 万能公式 （最复杂）

    

    • 同除 $\cos$ 次幂, 凑微分 (优化的万能公式法)(主要是化为$tan^2/sec^2$;然后利用$tan^2+1=sec^2$)

  • 化简分母

    • 引入辅助角公式

      

    • 同乘因子凑二倍角

---

• 当被积函数为 $\frac{asinx+bcosx}{csinx+dcosx}$时，令 $asinx+bcosx = A(csinx + dcosx) + B(sinx+dcosx)'$; $\int \frac{d x}{1+2 \tan x}=\int \frac{\cos x}{\cos x+2 \sin x}dx$
• 分母的[根号x]，一般可以化为凑微分的[根号x]:
  • $\sqrt{x}$: $\int \sqrt{x} dx$ => $d\sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}dx$
  • $\frac{1}{\sqrt{x}}dx = d\sqrt{x}$
• $\int sinx * cosx dx$ => $dsin^2 x$
• $\int \frac{1}{x}$ => $dx \overset{x=\frac{1}{t}}{=} - \frac{1}{t^2}dt$

---

• 定积分计算方法：如果分母是常数，把常数提出去，防止算晕

  

  • 牛顿-莱布尼茨: $\int_{a}^{b} f(t) d x=F(b)-F(a)$
    • 换元法
    • 分部积分
  • 奇偶性/周期性 (偶倍奇零)
  • 利用公式
    • 著名的点火公式($\frac{\pi}{2}$与$2\pi$)，偶数时点火成功乘 $\frac{\pi}{2}$，奇数时点火失败以1打止。写成通式便是 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=\left\{\begin{array}{ll} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1 & n \text { is odd(奇). } \\ \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} & n \text { is even(偶). } \end{array}\right.$
    • ⚠️区间再现：函数有对称轴和对称点，并且是在关于对称点或对称轴上的对称区间里就可以用.
      $$\left\{\begin{array}{r} newVariable=上底+下底-oldVariable \\ \int_{a}^{b} f(x)dx \overset{u=a+b-x}{=} \int_{b}^{a} f(a+b-u)d(a+b-u) \\ \overset{\int_{b}^{a}...d(a+b-u)=\int_{a}^{b}...du}{=} \int_{a}^{b} f(a+b-u)du \\ = \int_{a}^{b} f(a+b)du - \int_{a}^{b}udu 错误\\ = I 错误\\ = \frac{1}{2}\int_{a}^{b} f(a+b)du 错误\\ \end{array}\right.$$
      • 若函数关于(a,b)中心对称 ==> f(x)+f(2a-x)=2b;
      • 若函数关于$x=\frac{a+b}{2}$轴对称 ==> f(x)=f(a+b-x).
    • $\sin x+\cos x=\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 与 $\left\{\begin{aligned} \sin x+\cos x &=\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x+\cos x) \\ &=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x\right) \\ &=\sqrt{2}(\sin x \cos (\pi / 4)+\sin (\pi / 4) \cos x) \\ &=\sqrt{2} \sin (x+\pi / 4) \end{aligned}\right\}$
      • $\cos (\pi / 4)=1 / \sqrt{2} \text { and } \sin (\pi / 4)=1 / \sqrt{2}$
      • 两角和与差: $\sin A \cos B+\sin B \cos A=\sin (A+B)$
  • 图像
    • $\int_{0}^{\pi} \sqrt{(\cos x-\sin x)^{2}} dx=\int_{0}^{\pi}|\cos x-\sin x|dx$

• 定积分的应用
  • 体积:
    • $V=2 \pi \int_{D} r(x, y)d\sigma;\quad 其中r(x \cdot y)=\frac{|a x+b y+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$(区间内任一点到转轴的距离)
    • 绕x轴
    • 绕y轴
  • 曲线弧长:
  • 旋转体侧面积:求的是侧面积,不是全部的表面积,通过类比弧形的面积公式($2\pi R \cdot l \cdot \frac{1}{2}$)->圆锥的侧面积->圆台的侧面积
    • $A=\pi \cdot 腰长 \cdot (下低面+上低面)$ ; $\quad$ $dA=\pi \cdot ds \cdot 2y =\pi \cdot \sqrt{1+(f'(x))^2} dx \cdot 2y$
      • 讲解视频
    • 为什么不能以直代替曲线呢？

• 物理应用:
  $$\begin{array}{l} F_{浮}=\rho gv \\ P(压强)=\rho gh; P=\frac{F}{S}\overset{F=G=mg=ρVg=ρShg}{=}ρgh（适用于液体）; P=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}=\frac{mg}{S}=\frac{ρVg}{S}=\frac{ρShg}{S}=ρgh（适用于液体） \\ {\color{Red} \underline{\bold{G=mg=\rho vg} } } \\ w=F\cdot S \\ \end{array}$$
  • 定积分在物理中的应用:主要是找到什么是变化的，然后变化的切分，把它看成不变的。
    • 形心，质心和转动惯量
      • 质心：
        $$\begin{array}{c} \bar{x}=\frac{\iint_{D} x \rho(x, y) d x d y}{\iint_{D} \rho(x, y) d x d y} \\ \bar{y}=\frac{\iint_{D} y \rho(x, y) d x d y}{\iint_{D} \rho(x, y) d x d y} \end{array}$$
    • 变力做功，水压力，引力
      • 引力
        • 万有引力：$F=\frac{kMm}{r^2}$
        • 点电荷：点电荷的场强公式 $E=k \frac{Q}{r^{2}}$ , 是由库仑定律 $F=k \frac{Q q}{r^{2}}$ 和场强的定义式 $E=\frac{F}{q}$ 共同产生的，与库仑定律一样, 具有以下一些特征：(1) 必须是真空; (2) 必须是点电荷;
      • 压力:$F=P \cdot A$
        • $\overset{压强如果是常数，那么}{\longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow}$ 压力F = 压强*面积,但是压强一般是变化的，$\overset{切分，然后当成不变的量}{\longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow}$
          • $P(压强)=\rho gh; P=\frac{F}{S}\overset{F=G=mg=ρVg=ρShg}{= = = = = = = =}ρgh（适用于液体）; P=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}=\frac{mg}{S}=\frac{ρVg}{S}=\frac{ρShg}{S}=ρgh（适用于液体）$
          • 综上所述,只要是把不变的量变化的量高度h,面积S(or A)确定下来就行了。(当成常量微元法)
            $$\left\{\begin{array}{l} 当求压力的时候:F=P*S=(\rho gh) *(S) \\ 当求压强的时候:\left\{\begin{array}{l} P=g\rho h \\ P=\frac{F(如题干已给压力大小,求压强)}{S} \end{array}\right. \\ 当用微元求压力的时候:\left\{\begin{aligned} d F &=\rho g \cdot h \cdot d A \\ &=\rho g \cdot x_h \cdot [f(x)-g(x)] d x \\ &=\rho g \cdot y_h \cdot Kf(y)_{面积底} d y_{面积高} \end{aligned}\right. \end{array}\right.$$
      • 变力作功:$W=F \cdot S$ $\overset{提取物体做功}{=}{\color{Red} \underline{G\cdot X} }$
        • 变力做功的核心思想： 在微小的位移，把变力当作恒力，然后用力乘位移算出工的近似值，再积分。
          • 提取物体做功: $W=\rho g\int_{a}^{b}xA(x) dx$; (A(x)截面, A(x)*dx体积) ---> ${\color{Red}\int_{a}^{b} \rho gvx }$
            $W=F*S(力*位移) \overset{当求重力做功时}{===>} W=Gx \overset{G=mg\overset{m=\rho v}{=} \rho vg}{=} \rho vgx$
          • 当如果是求旋转体的做功,它的截面积也是旋转体的截面积(比如绕y轴，就是一个同心圆,截面积为大圆-小圆)
  • 微分方程在物理中的应用:
    • 变化率问题:导数相关，然后利用微分方程来求。
      • 变化率就是导数，利用它建立微分方程，然后求解，最后带入题干已知条件，求常数C。
    • 牛顿第二定律:
      • 使用 $F=ma; 二次积分\frac{d^2x}{dt^2}$
      • $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=v\frac{dv}{dy}$
    • 混合问题
      • 看题目问你什么？在xxx的条件下，yyy怎么样

---

二重积分

define:

• 累次积分:多次单变量积分。
  • 二次积分: 两次单变量积分。虽然被积函数中含有x和y两个变量，但是每次积分，都把其一当作常数，而对另一个变量积分。第一次积分时，是对一个变量的积分，可以理解为偏积分，得到的是一个函数；第二次积分时，对另一变量积分，得到一个数字。二次积分是一种积分运算，是代数意义上的，仅仅对函数和数字进行运算。
• 二重积分:
  • 因为二重积分的几何背景是，曲顶柱体的体积（顶的高度是因变量）或平面薄片的质量（面密度是因变量）。这两种背景中，Δσi表示的都是面积微元，所以必须是Δσi>0，也即dσi>0。在直角坐标中，也即是dxdy>0，因此积分时注意上下限的相对大小，必须是上限≥下限，才可以表示二重积分。二重积分是关于面积的积分。同时，二重积分要求函数f(x,y)在有界闭区域D上的有界函数，此时才可积。
  • 交换积分次序时，需要重新选定上下限，那么就需要搞清楚它是从哪个二重积分来的，因为二重积分的dxdy>0，所以有着严格的向右积分或是向上积分的规定，也即上限必须要大于等于下限的意思。这时需要对积分的上下限先进行调整，不然易出现正负号混乱的情况。

nature:

• 保号性： $f(x,y) \le g(x,y), \iint_{D} f(x, y) d\sigma \le \iint_{D} g(x, y) d\sigma$
• 介值：若f(x,y)在D上连续，则 $mS \le \iint_{D}f(x,y)d\sigma \le MS$
• 积分的绝对值小于绝对值的积分：$|\iint_{D}f(x,y)d\sigma | \le \iint_{D}|f(x,y)| d\sigma$
• 中值定理：若f(x,y)在D上连续，则 $\iint_{D}f(x,y)d\sigma = f(\varepsilon, \xi)*S$; $\int_{a}^{b} f(x)dx = f(\varepsilon)*(b-a)$

application:

• 1.画图没学好，2.变序和对称没理解 3.一元积分没学好

• 求二重积分
  • 画图没学好(区域)
    • 画区域 (x,y,y=x对称； 圆)
    • 区域不好积分，考虑: 区域大-区域小
  • 变序和对称没理解(函数)
    • 看函数奇偶
      • f(x,y)抽象函数：奇偶，轮换
    • Ax+By 区域对称，考虑奇偶，平移 (形心公式)
  • 直角/极坐标
    • ${\color{Red} 先y后x如不行，则考虑先x后y -> 容易积分的放后头先积分，再积难点的} \int_{x}^{1}e^{-y^2}dy这种就很难积分$
    • 查看被积函数F(u),u的结构:$\sqrt{x^2+y^2}; \frac{y}{x}; \frac{x}{y}$
  • 任何一个二重都可调
    

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快速回顾

• 中值定理类型

选填技巧

选择填空不能做解答题的解法

概念-理论的题

缺乏方法/技巧

直接法

间接法

• 特殊值法是指, 当题干中出现抽象函数f(x)时,可取满足题意的一个简单具体函数:

  • 

  • 震荡:三角函数($sin\frac{1}{x}$)
  • $f'(x)>f(x)$: 用$f(x)=e^{2x}$

• 选项代入:选项直接代入题干

  • 

• 画图法

  • 初等特性(对称性,奇偶性);微分的几何意义;二阶导(凹凸性)

    

• 灵活的结论:

  • $x \rightarrow 0 \text { 时, } f(x) \sim g(x) \rightarrow \int_{0}^{x} f(t) d t \sim \int_{0}^{x} g(t) d t$

    

  • 函数-极限-连续

    • 奇偶性质:直接用-x代入,看是否与原式相同

      

    • 零点

      

    • 保号性-有序性

      

    • 数列极限: 夹逼/定积分的定义 ${\color{Red}\hookleftarrow}$

      

    • 极限

      • 洛必达/泰勒的等价替换

        

        • $1^{\infty}$

          

      • 等价无穷小-变限上积分

        

      • $(1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x$的扩展应用 $\left[\begin{array}{l} (1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x \\ (1+\beta (x))^{\alpha (x)} -1 \sim \alpha (x) \beta (x) ; \beta (x) \Rightarrow 0 \\ f(x) \sim g(x) \Rightarrow \int_{0}^{x} f(t) d t \sim \int_{0}^{x} g(t) d t \end{array}\right]$

    • 奇/偶函数泰勒展开只有奇/偶次项

      

    • 间断点

      

    • 渐进线:

      • 水平: ${\color{Red}+\infty \uplus -\infty}$ 都要判断
      • 垂直: 找无定义的点
      • 斜: 在保证Ax+b已经出现的前提下，求无穷小，一定要保证为0，不够的话加减某个${\color{Red} \Box }$ ($\lim \limits_{x \to \infty}\alpha(x) = 0$)

        

  • 一元微分

    • $f(x) \overset{?}{\rightleftharpoons} |f(x)|$

      

    • 判断f(x)(含有绝对值)是否可导

      

      • 函数绝对值的极限
        • 函数绝对值的极限等于函数极限的绝对值吗？前提条件：该函数的极限存在?
          • $|| f(x)|-| a|| \leq|f(x)-a|<\epsilon$
            • 数列{an}的绝对值的极限是0,数列{an}的极限也是0,怎么证明两者是对方的充分必要条

              

    • 由0*有界组合而来的f(x): $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{\alpha} \sin \frac{1}{x^{\beta}}, x>0 \\ 0, x \leq 0 \\ \end{array}\right.f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{\alpha} \sin \frac{1}{x^{\beta}}, x>0 \\ 0, x \leq 0 \\ \end{array}\right.$

      

    • 导数概念的理解: 它成立的条件是什么呢？$\begin{aligned} f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)= \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} = \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x) \\ f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)= \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} = \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x) \\ \end{aligned}$ 增加B选项为什么不对?

    • 极值/拐点:不给原函数图像,给一阶/二阶导数图像

      

    • 中值定理应用

      

  • 全微分

    • 由函数求偏导数/全微分

      

    • 由全微分求函数

      

    • 求极值:

      

  • 一元函数积分学

    • 可微-可导-连续-可积-有界
    • 比较大小，使用作图法

      

TODO

切线与法线
30/45/90 sin cos tan cot
施密特
y=1的奇偶性?

---

• 极限-导数-微分-积分
  • define-nature-application
    • applicationPlus

---

记忆

第一遍使用目录来记忆（define-nature-application）

第二遍使用极限(君王) 导数-微分/积分(左右大臣)

• 极限: 定义;是否存在;求极限
  • 连续: 其实上次那个判断是否连续，还是因为极限求不出来，没有总结过遇到绝对值的函数求极限。我想，求极限除了定型-化简-定法还应该有其他的方式来求。比如按照函数的类型等。绝对值类型。
  • 求渐近线
• 导数: 正向/反向定义;是否可导;求导数
  • 极值/拐点
  • 多元极值
  • 求偏导-复合偏导
    • 1.求导是走路 2.不管f对谁求导，求导后的函数与f有相同的关系图。
• 微分:
  • 弧微分
  • 常微分方程
  • 全微分
    • 多元极值
• 积分:概念意义;性质(奇偶/中值/柯西);求不定积分
  • 反常积分-变上限积分-定积分(几何应用/物理应用(质心/))
    • 几何应用:
      • 求体积(绕X轴线(微元法);绕Y轴线(点-线-面))
      • 求侧面积(圆锥侧面积->台柱侧面积->微元法)
    • 物理应用:
      • 求压力:压强的$\rho gh$h是一个常数;把S面积，是什么的面积？
  • 二重积分:概念意义;性质(奇偶/中值/柯西);求二重积分
    • 应用:平面面积/曲顶柱体体积/空间曲面

---

• 比较想近的:
  • 偏导数的隐函数---隐函数的导数
  • 定积分的点火公式---求导的高阶三角函数的求导

默写

附录

• $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$

• $\overset{x=\frac{1}{t}}{=}$

• $\overset{洛必达}{=}$

$$\left\{\begin{array}{l} \lim \limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta y-A * \Delta x}{\Delta x}=0 \\ \left\{\begin{array}{l} \lim \limits_{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0)} \frac{\Delta z-(A \Delta x+B \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0 \\ \rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \end{array}\right. \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} B^2-AC<0 取得极值 \left\{\begin{array}{c}A<0 极大 \\ A>0 极小 \end{array} \right. \\ B^2-AC>0 不取极值 \end{array} \right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} \lim \limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta y-A * \Delta x}{\Delta x}=0 \\ \left\{\begin{array}{l} \lim \limits_{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0)} \frac{\Delta z-(A \Delta x+B \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0 \\ \rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \end{array}\right. \end{array}\right.$$

---

• 定义(define)
• 性质(nature)
• 应用(application)

大纲：汤圆

查找概念：郭伟
小崔

复习下反常积分: https://www.bilibili.com/video/BV19v411b7z9?from=search&seid=9945171393475734842&spm_id_from=333.337.0.0

武忠祥-强化讲解

变上限积分-有界还是什么?

https://www.zhihu.com/question/328332421
https://www.zhihu.com/question/412348179
https://www.zhihu.com/question/440709309

英语学习
https://www.bilibili.com/read/cv7609298?spm_id_from=333.999.0.0
[看下他的阅读]https://space.bilibili.com/105270349

https://www.bilibili.com/video/BV1Uf4y1X7fu?spm_id_from=333.999.0.0

https://www.bilibili.com/video/BV1oo4y117gh?spm_id_from=333.999.0.0

记忆:不定积分公式记忆方法，再也不会混了！
https://www.bilibili.com/video/BV1LU4y1H7pa/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.1

试卷讲解
https://open.163.com/newview/movie/courseintro?newurl=AGHV2NHMP

• 20211011

• (极值求)[https://www.bilibili.com/video/BV1wJ411u7qc?from=search&seid=9858153165521626621&spm_id_from=333.337.0.0]

archive

• 指导思想：

• 裂变法：

  • 上拼成下/下裂变
  • 缩小元素的个数
    • 倍角公式(为了把三角函数拍平)
      • exercise
    • 半角公式(为了把三角函数缩小): 积分中出现1+cosx时，利用 $1+\cos x=2 \cos ^{2} \frac{x}{2}$. (⚠️需一看就能反应过来)
      • $cos2x = cos^2x - sin^2x$ ;
      • $$\begin{array}{l} \sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \\ \cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} \end{array}$$
  • 升幂法

• 极值点⚠️: 极值只在区间内取得，端点不可能取极值。

• $\left\{\begin{aligned} & \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d}x\\ =& \int_{0}^{\pi}(\pi-x) f(\sin x) \mathrm{d}x \\ =& \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x-\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d}x \end{aligned}\right\}$

• 从而有 $\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d}x$
• 令x=π-t; 这里什么时候上下限颠倒不影响结果呢
  • $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$; t=$\frac{\pi}{2}$-x
  • $\int_{a}^{b} f(x)dx \overset{令x=a+b-t}{=} \int_{a}^{b} f(a+b-t)dt$

• 反常积分:
  • 
  • 一般在等价无穷小中，高阶+底阶===>只要看低阶就行了，在反常积分中审敛法中，则是看最高阶层(因为趋向于∞)
    • 判别法中的 $\lim \limits_{x \rightarrow .} \frac{f(x)}{g(x)}$ 无穷限情况下表示 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}$, 无界情况表示 $\lim \limits_{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)}$
    • 当无界函数的瑕点，一定要看清此时瑕点的阶，而不是总的阶
    • 小发大必发;大收小必收
    • 等价无穷小的替换(可以是$x->x_0; x->\infty$); 幂指函数>指数>幂函数>ln(x)
  • $\lim \limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{\frac{1}{x^k}}=\lim \limits_{x \to \infty}x^kf(x) = c(c<\infty,且可以等于0)$
    • 则当$< \infty且\ne0$ 的时候，f(x)的的敛散性与$\frac{1}{x^k}$相同，
    • 当 $=0$ 的时候，由极限的定义，可以知道$\frac{1}{x^k}$远大于f(x),所以小发大必发-大收小必收,可以知道如果$\frac{1}{x^k}$收敛,则f(x)收敛
    • 广义积分收敛性，没有四则运算，它能通过上面的审敛法(看作两函数相乘，看极限来判断),去判断

若${x_n}$有单调性用1;无单调性或者很难判断用2:

  - 1:先证明收敛$\overset{单调有界准则}{->}$,再求极限
  - 2:先求极限,再证明数列收敛