线性代数

▶︎
all
running...

第三视角:从向量的角度

效果图

jenif的基向量<b1,b2>:
[10][01]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

从我们的基向量看jenif的基向量:<b1,b2>
[21][−11]\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}

转换矩阵T:
[2−111]\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

当jenif说她的向量 [−12]\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}; 其实是指我们的向量 [−41]\begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix}

效果图

第一视角:方程组角度{\color{Red} 方程组角度}

效果图 

       [把未知数向下压缩为一点。(去重)] -> 组合转置放最右边
方程组 ---- ---- ----> 矩阵形式
|
| [把未知数向下压缩为一点。(去重)]
|
\/
向量组形式

Am⋅nX=0{\color{Red} A_{m\cdot n}X=0} n为未知量的个数, r(A)与n去比较
Am⋅nX=b{\color{Red} A_{m\cdot n}X=b} n为未知量的个数, r(A|b)与n去比较
去比较而不是说看列向量

letter

看懂这个，就理解了方程组变成矩阵/向量形式

线性方程组

define
具体形

抽象形
nature
application

效果图

效果图

有没有解?

齐次方程 非齐次方程
有解 只有零解 有唯一解
有解 除零解外有无数个非零解 有无穷多解
无解 不可能无解（至少存在一个零解） 无解 
轮回:判断解类型:比较秩与未知数的个数:秩->矩阵->矩阵的运算->分块矩阵->
                                \_>求秩->行阶梯,行最简,初等变换,非零子式->行列式->求方程组解的类型。

               xxxxxxxxxxxxxxx
            xx                 x
          xx                    x
         xx                      x       
       xxx                        x     x 
      xx                     x     x    x
      x                        x    x   x
      x                         x   x  x
     xx                           x x x
    x   x                           x
   x  x   x                        x
  x   xx    x                     x
 x    xx     x                   x
        xx                    x
         xxx               x
            xxxxxxxxxxxx

m*n的矩阵 (m行*n列)
看作方程组，方程的个数m, 未知数的个数n

3行3列
看作方程组，方程的个数3, 未知数的个数3
[1−1−12−1−332−5]\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & -5 \end{bmatrix}

3行4列
看作方程组，方程的个数3, 未知数的个数4
[1−1−122−1−3132−50]\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -5 & 0 \\ \end{bmatrix}

矩阵的运算
define:
nature:
application:

怎么判断是否有解-->比较秩

{x1−x2−x3=22x1−x2−3x3=13x1+2x2−5x3=0⇒A=(1−1−12−1−332−5)(1−1−12−1−332−5)(x1x2x3)=(210)(123)x1+(−1−12)x2+(−1−3−5)x3=(210)\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}-x_{3}=2 \\ 2 x_{1}-x_{2}-3 x_{3}=1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}=0 \end{array} \Rightarrow A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & -5 \end{array}\right)\right. \\ \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & -5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) x_{1}+\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) x_{2}+\left(\begin{array}{l} -1 \\ -3 \\ -5 \end{array}\right) x_{3}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \end{array}

分为上/中/下式子；

从上->中引出矩阵的概念。====>如何运算?\overset{如何运算?}{====>}引出矩阵的乘法(左行右列)
从中->下引出了分块的概念。===>分块矩阵。

求矩阵秩{\bold{ \color{Red}求矩阵秩}}

20211106201457

define
  • 概念性质的结论一定要从定义(矩阵/向量){\color{Red} 定义(矩阵/向量) }入手去理解:
    • 矩阵:非零子式的最高阶数就是秩
    • 向量:什么是向量组的秩？
      • 从定义上的描述，秩是向量组的最大线性无关组所包含的向量个数，但更为直观的理解是：秩是描述一个向量组“表出能力”的数字，它表示向量组能够表出的线性空间的维度是多少，但并不记录它能表出哪些维度。
      • B能被A表出，则r(B)≤r(A){\color{Red} r(B)≤r(A)}，这其实很好理解：
        • ①向量组能表示出的线性空间维度取决于构成它的向量本身（就跟不能用二维坐标直接去表示任意的三维空间坐标一样）
        • ②对于已经定义好向量表示形式的向量组而言，它自身也不可能表出具有别的维度的向量组（比如[1,0,0]和[0,1,0]无论如何也不可能表出[0,0,1]这个向量）。因此表出结果的秩只可能变小或者维持相等（这也是有r(AB)≤r(A),r(B)的原因，因为矩阵乘法本身就是对向量组的一种线性变化）。
          • 就像我(A)兜里有橘子、苹果和香蕉，而你(B)兜里的水果全都来自与我(表出关系)，那你兜里的水果种类一定只能比我少或相等；
      • 要使得A和B秩相同， 条件需要补充成A和B能互相线性表出，这种关系我们称为向量组A和B等价。
        • 需要注意“A和B能互相线性表出”是“A和B秩相同”的充分条件而不是必要条件，因为在A和B并不是满秩的情况下，他们可能刚好都能表示n(n<N)维空间，但并非表示的相同的n维，这时候二者等秩但并不能相互线性表出（注意开始提到的秩的概念）。
          • 这也很好理解：我(A)手里有橘子和苹果，你(B)手里有橘子和香蕉，我俩水果种类都是2，但是我们不存在表出关系。

{常识:{ (1) 0⩽r(Am×n)⩽min⁡{m,n} (2) r(kA)=r(A)(k≠0) (10) r(A∗)={n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1 (3) r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ);设A是m×n矩阵,P,Q分别是m阶、n阶可逆矩阵 (4) r(AB)⩽min⁡{r(A),r(B)} (8) r(AB)⩾r(A)+r(B)−n−−−>AB=O 时, r(A)+r(B)⩽n, 其中 n 是 A 的列数（或 B 的行数）  (9) r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA)分块矩阵:{ (5) r(A+B)⩽r([A,B])⩽r(A)+r(B) (6) r([AOOB])=r(A)+r(B) (7) r(A)+r(B)⩽r([AOCB])⩽r(A)+r(B)+r(C)矩阵An/矩阵方程/相似:{(11)若A2=A,则r(A)+r(A−E)=n(12)若A2=E,则r(A+E)+r(A−E)=n(13)Ax=0的基础解系所含向量的个数s=n−r(A)(14)若A∼Λ,则ni=n−r(λiE−A),其中λi是ni重特征根(15)若A∼Λ,则r(A)等于非零特征值的个数,重根按重数算\left\{\begin{array}{l} 常识: \left\{\begin{array}{l} \text { (1) } 0 \leqslant r\left(\boldsymbol{A}_{m \times n}\right) \leqslant \min \{m, n\}\\ \text { (2) } r(k \boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A})(k \neq 0)\\ \text { (10) } r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=\left\{\begin{array}{ll} n, & \boldsymbol{r}(\boldsymbol{A})=n \\ 1, & r(\boldsymbol{A})=n-1 \\ 0, & r(\boldsymbol{A})<n-1 \end{array}\right. \\ \text { (3) } r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{P A})=r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q})=r(\boldsymbol{P A Q}) ; 设\boldsymbol{A} 是m \times n 矩阵, \boldsymbol{P}, Q 分别是m阶、n阶可逆矩阵\\ \text { (4) } r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leqslant \min \{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}\\ \text { (8) } r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \geqslant r(\boldsymbol{A})+ r (\boldsymbol{B})-n \boldsymbol{--->} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O} \text { 时, } r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant n, \text { 其中 } n \text { 是 } \boldsymbol{A} \text { 的列数（或 } \boldsymbol{B} \text { 的行数） } \\ \text { (9) } r(\boldsymbol{A})=r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)=r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)=r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)\\ \end{array}\right. \\ 分块矩阵: \left\{\begin{array}{l} \text { (5) } r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \leqslant r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}]) \leqslant r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})\\ \text { (6) } r\left(\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right]\right)=r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})\\ \text { (7) } r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant r\left(\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right]\right) \leqslant r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})+r(\boldsymbol{C})\\ \end{array}\right. \\ 矩阵A^n/矩阵方程/相似: \left\{\begin{array}{l} (11) 若 \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A} , 则 r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n \\ (12) 若 \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{E} , 则 r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n \\ (13) A x=0 的基础解系所含向量的个数 s=n-r(A) \\ (14) 若 \boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{\Lambda} , 则 n_{i}=n-r\left(\lambda_{i} \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right) , 其中 \lambda_{i} 是 n_{i} 重特征根 \\ (15) 若 \boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{\Lambda} , 则 r(\boldsymbol{A}) 等于非零特征值的个数, 重根按重数算 \\ \end{array}\right. \\ \end{array}\right.

nature
application

什么是非零子式? ===>跟行列式有关\overset{跟行列式有关}{===>} 行列式的概念

行列式(余子式和代数余子式)

效果图

效果图

TODO

第二视角:从向量角度来看

效果图

(123)x1+(−1−12)x2+(−1−3−5)x3=(210)\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) x_{1}+\left(\begin{array}{l} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) x_{2}+\left(\begin{array}{r} -1 \\ -3 \\ -5 \end{array}\right) x_{3}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)

define

效果图

  • 向量之间的关系(相关-无关/表示)要从两个方面来分析:

    • 从向量之间的关系来:

      • 成比例的向量，为0的向量 ==> 线性相关
      • 单个非零向量，两个不成比例的向量 ==> 线性无关

    • 从方程组的角度来分析

      • 线性表示/不能线性表示 ====>类比AX=B\overset{类比 AX=B}{====>} 非齐次方程组
      • 线性表示(出) ====>类比AX=B\overset{类比 AX=B}{====>} 非齐次方程组的有解(唯一解也好/无穷解也好，只要有解)
        • 线性表示 ====>多个向量进行线性表示\overset{多个向量进行线性表示}{====>} 向量等价
      • 线性无关/线性相关 ====>类比AX=0\overset{类比 AX=0}{====>} 齐次方程组
      • 线性无关 ====>类比AX=0\overset{类比 AX=0}{====>} 齐次方程组的有零解
      • 线性相关 ====>类比AX=0\overset{类比 AX=0}{====>} 齐次方程组的有无穷多个解(从而有非零解)
        • 能不能把线性相关无关这些概念 ====>极大线性无关组\overset{极大线性无关组}{====>} 跟r(A)联系起来 ( ====>有效方程个数\overset{有效方程个数}{====>} 方程组)
向量 方程组
个数 未知数
> 个数++-- 未知数++--
>> 部分线性相关,整体线性相关 click
>> 整体线性无关,部分线性无关 这个很好理解
----------------------------------------------- -
维度 方程个数
维度++-- 方程个数++--(约束条件的变化)
线性相关-无关 齐次AX=0
> 线性无关 齐次AX=0;只有零解
>> 原来无关,延长必无关(原来就是无缘的人，延长时间还是无关) 只有零解的情况下，减少约束条件，有零解/∞解；增加约束条件，只会有零解
>> 原来相关,缩短必相关 (原来就是有缘的人，缩短时间还是能一见钟情) 有∞解的情况下，减少约束条件，∞解；增加约束条件，只有零解/有∞解
> 线性相关 齐次AX=0;有∞解
线性表示(出) 非齐次AX=B

nature
application

效果图

具体形
  • 具体形向量关系:

    • 一个向量与一组向量的关系

    • 一组向量之间的关系

      • 向量个数大于维数−−−−−−−−−−−−−−>未知数的个数>方程的个数(先不论它是否是有效方程)必相关{\bold{\color{Red}向量个数大于维数\overset{未知数的个数>方程的个数(先不论它是否是有效方程)}{-------------->}必相关}}
        • 向量个数代表未知数个数:可以看出向量个数增加，则代表未知数的增加
        • 向量维度代表方程个数:维度的增加，代表方程个数的的增加
          A=[α1,α2,⋯ ,αm]=[a11a12⋯a1ma21a22⋯a2m⋮⋮⋮an1an2⋯anm],x=[x1x2⋮xm]\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}\right]=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n m} \end{array}\right], \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m} \end{array}\right]

      x1α1+x2α2+⋯+xmαm=0x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}

    • 极大无关组

      • 效果图

具体形

效果图

向量等价

有解怎么表示？

有解无解判定成功后，有解如何表示？

尤其是无穷多解。

怎么表示无穷多解？ <========引出解个数判定,让它们自由组合(在前面赋予系数k1,k2...)\overset{引出解个数判定,让它们自由组合({\color{Red} 在前面赋予系数k1,k2... })}{<========} 无穷多个解中选出几个具有代表性的解。

                                                           代表性的解 ========> 线性无关的解

特征值-特征向量

define

行列式里面都是方的
相似理论-特征值/向量都是方的
二次型一定是方的

nature

-

大纲

application

相似合同

相似合同这里的判定:

  • 相似合同
    • 判断合同:
      • 用定义法:A,B合同⇔存在可逆矩阵C,使得CTAC=B.用定义法: \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} 合同 \Leftrightarrow 存在可逆矩阵 \boldsymbol{C} , 使得 \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{B} .
      • 用正、负惯性指数: A,B合同⇔pA=pB,qA=qB.(相同的正、负惯性指数)\mathbf{A}, \boldsymbol{B} 合同 \Leftrightarrow p_{\boldsymbol{A}}=p_{\boldsymbol{B}}, q_{\boldsymbol{A}}=q_{\boldsymbol{B}} . (相同的正、负惯性指数)
        • 同阶实对称矩阵 A,B相似{\color{Red} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} 相似}必合同;
          • A=AT;B=BT,且A～BA=A^T;B=B^T,且A～B
          • 下面这一条应该是错的,特征值相同,不能推出合同=>实对称矩阵A,B相似⟶因实对称矩阵→必定可以相似对角化有相同的特征值/特征向量⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶pA=pB,qA=qB(相同的正负惯性指数⇔A,B合同)A,B必合同实对称矩阵A,B相似 \overset{因实对称矩阵 \rightarrow 必定可以相似对角化}{\longrightarrow} 有相同的特征值/特征向量 \overset{p_A = p_B, q_A = q_B(相同的正负惯性指数 \Leftrightarrow A,B合同 )}{\longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow} A,B必合同
          • 为什么是对称矩阵必有可逆矩阵C，使得CTAC=ΛC^TAC=\Lambda, 其中 Λ\Lambda 为对角矩阵?
            • 实对称矩阵有正交矩阵C, C−1AC=CTAC=ΛC^{-1}AC=C^TAC=\Lambda
            • 所以实对称矩阵相似,就有相同的Λ\Lambda,所以CTAC=C1TAC1−>A=(C1⋅C−1)TB(C1⋅C−1)C^TAC=C_1^TAC_1 -> A = (C_1\cdot C^{-1})^T B (C_1\cdot C^{-1}), 所以不是通过上面的用特征值相同得到正负惯性得到{\color{Red} 所以不是通过上面的用特征值相同得到正负惯性得到}
      • 用传递性: A合同于C,C合同于B,则A合同于B.\boldsymbol{A} 合同于 \boldsymbol{C}, \boldsymbol{C} 合同于 \boldsymbol{B} , 则 \boldsymbol{A} 合同于 \boldsymbol{B}.
    • 实对称矩阵/正交矩阵(四/二性质)
  • 二次型是应用

    矩阵的运算

    • 正定是描述二次型的->正定二次型
      • 判断是否正定
        • |A|:
          • 顺序主子式>0
        • λ,α\lambda, \alpha:
          • λi>0\lambda_i>0
        • 相似合同:
          • C可逆,A=CTCA=C^TC
          • CTAC=E;A与E合同C^TAC=E; A与E合同
        • 二次型:
          • 定义:x≠0,xTAx>0x\ne0,x^TAx>0
          • f的正惯性指数p=n

20211215211352

相似理论

大纲

define

20211213074012

20211213074937

nature

A∼ΛA \sim \Lambda
  • 找出所有: λ\lambda
    • 特征值 f(A)=0−>f(λ)=0f(A)=0 -> f(\lambda)=0
  • 利用: ni=n−r(λiE−A)⇔A∼Λ{\color{Red} n_{i}=n-r\left(\lambda_{i} \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right) \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{\Lambda}}
  • 回归到: A 有 n 个线性无关的特征向量 ⇔A∼Λ{\color{Red} \boldsymbol{A} \text { 有 } n \text { 个线性无关的特征向量 } \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{\Lambda} }

大纲

A∼BA \sim B
  • 四个必要不充分条件:


    大纲

  • AB相似的四个条件
    • λA==λB{\color{Red} \lambda_A==\lambda_B }

      letter

      • tr(A)==tr(B)
      • |A|==|B|
    • r(A)==r(B)
实对称矩阵/正交矩阵(四/二性质)

  • 实对称矩阵四条性质:

    : 先说特征值->特征向量->有正交矩阵相似对角化(这里就包括了第三个性质)（特征向量之间必定线性无关）
    大纲

  • 正交矩阵的二个性质:正交矩阵的转置-求逆-伴随都是正交矩阵
    {ATA=E⇔A−1=AT⇔A 由规范正交基组成 ⇔AT 是正交矩阵 ⇔A−1 是正交矩阵 ⇔A∗ 是正交矩阵 ⇔−A 是正交矩阵  若 A,B 为同阶正交矩阵,则 AB 为正交矩阵 (A+B 不一定 )\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E} & \Leftrightarrow \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \\ & \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \text { 由规范正交基组成 } \\ & \Leftrightarrow \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \text { 是正交矩阵 } \\ & \Leftrightarrow \boldsymbol{A}^{-1} \text { 是正交矩阵 } \\ & \Leftrightarrow \boldsymbol{A}^{*} \text { 是正交矩阵 } \\ & \Leftrightarrow-\boldsymbol{A} \text { 是正交矩阵 } \\ \text { 若 } \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} & \text { 为同阶正交矩阵,则 } A \boldsymbol{B} \text { 为正交矩阵 }(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \text { 不一定 }) \end{array}\right.

    • example
      • 正交矩阵的几何意义:

        letter

      • 性质:

        letter

application

二次型与合同

20211213081010

define

大纲

nature

application

  • 正交变换:
    • 三步走:
      • 特征（值/向量）
      • 正交
      • 单位化

{β1=α1;β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1β2=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2\left\{\begin{array}{l} \beta 1=\alpha 1; \\ \beta 2=\alpha 2 - \frac{(\alpha 2,\beta 1)}{(\beta 1,\beta 1)}\beta 1 \\ \beta 2=\alpha 3 - \frac{(\alpha 3,\beta 1)}{(\beta 1,\beta 1)}\beta 1 - \frac{(\alpha 3,\beta 2)}{(\beta 2,\beta 2)}\beta 2 \\ \end{array}\right.

快速回顾

A~B,必要条件: 四个重要的等式

背诵

矩阵的运算

矩阵的运算

20211122084259

TODO

理解

  • E
    • AAT=EAA^T=E
    • AA−1=EAA^{-1}=E
  • 初等矩阵:


    初等矩阵

  • EijE_{ij}
  • Ei(K)E_{i}(K)
  • Eij(K)E_{ij}(K): 第i行(列)∗K加到第j行(列)第i行(列) * K加到第j行(列)
  • Eij(K)E_{ij}(K): 第i行(列)∗K加到第j行(列)第i行(列) * K加到第j行(列)
  • Eij−1(K)E^{-1}_{ij}(K): 第i行(列)∗K加到第j行(列),然后再取逆,它的结果与Exx(X)的关系第i行(列) * K加到第j行(列), {\color{Red} 然后再取逆, 它的结果与 E_{xx}(X)的关系 }
. 秩 转置T(想象一下三阶的单位矩阵(⚠️须是单位矩阵,其他矩阵是没有这个特性):ET=E−>E^T=E->如果不是倍加的情况,其他转置情况都不变) 求逆-1 伴随*
EijE_{ij} x x EijE_{ij}
Ei(K)E_{i}(K) x x Ei(1K)E_{i}(\frac{1}{K})
Eij(K)E_{ij}(K) x Eji(K)E_{ji}(K) Ei(−K)E_{i}(-K)
  • 求逆-1: 想一想(A∣E)−>(E∣A−1)(A|E)-> (E|A^{-1})
  • 伴随*: A∗=∣A∣A−1A^*=|A|A^{-1}
    {[100010001]−>Eij[010100001]−>T[010100001]−−−−−−−[100010001]−>Eij[010100001]\left\{\begin{array}{l} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \overset{E_ij}{->} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \overset{T}{->} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ -------\\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \overset{E_ij}{->}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{array}\right.
  • 当P=E原始;;;当PA−>左行右列E原始A−>左行右列E12(1)⋅E2(−2)⋅E12(1)⋅E⋅AP=E_{原始};;;当 PA \overset{左行右列}{->} E_{原始}A \overset{左行右列}{->} E_{12}(1)\cdot E_{2}(-2) \cdot E_{12}(1) \cdot E \cdot A
    • 方向是先化为行阶梯，然后反过来算对应的E_{xxx}

[1101−10001]−>化为阶梯形[1100−20001]−>[110010001]−>[100010001][1101−10001]<−E12(1)[1100−20001]<−E2(−2)[110010001]<−E12(1)[100010001]E原始=E12(1)⋅E2(−2)⋅E12(1)⋅E\begin{array}{l} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \overset{化为阶梯形}{->} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} -> \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} -> \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \overset{E_{12}(1)}{<-} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \overset{E_{2}(-2)}{<-} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \overset{E_{12}(1)}{<-} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ E_{原始}=E_{12}(1)\cdot E_{2}(-2) \cdot E_{12}(1) \cdot E \end{array}

  • 秩

    • 求秩

  • 伴随(伴随一定存在，但是可逆不一定存在{\color{Red} 伴随一定存在，但是可逆不一定存在})

    • 求伴随:
      • A−1A^{-1}
      • 定义

        矩阵的运算

        • 主对线互换，副对角线变号 （主公换了，副手肯定变心了）

  • 可逆

    • 判断是否可逆：
    • 求逆的四种方式:
      • 具体求逆

        求逆

        • 主不变，副手被替换(只能被替换，主都没动副变心干什么)
      • 抽象求逆:  根据题干创造 AB=E, 则 A−1=B 根据题干创造 A=BC, 若 B,C 均可逆, 则 A−1=C−1B−1\begin{array}{l} \text { 根据题干创造 } A B=E \text {, 则 } A^{-1}=B \\ \text { 根据题干创造 } A=B C \text {, 若 } B, C \text { 均可逆, 则 } A^{-1}=C^{-1} B^{-1} \end{array}

  • 万能公式: A−1=A∗∣A∣A^{-1}=\frac{A^{*}}{|A|}

矩阵的运算

  • 单独记忆A∗A^*总是保持统一的，
    • 比如(二): (kA)∗(kA)^*它的最终结果还是A∗A^*乘以某个结果,跟(kA)−1=1kA−1(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1},以A−1A^{-1}为本一样
    • 比如(四): (A∗)∗(A^*)^*它的最终结果还是AA乘以某个结果,跟(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A相同,以A为本
    • 比如(五): ∣A∗∣|A^*|它的最终结果还是∣A∣|A|为本,跟∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}相同,以|A|为本
  • (二),(三):
    • (kA)−1=(kEA)−1=A−1(kE)−1=(kE)−1=1kE1kA−1(kA)^{-1}=(kEA)^{-1}=A^{-1}(kE)^{-1}\overset{(kE)^{-1}{=}\frac{1}{k}E}{=} \frac{1}{k}A^{-1}
    • (kA)∗=(kEA)∗=A∗(kE)∗=(kE)∗=∣kE∣(kE)−1=kn(kE)−1kn−1A∗(kA)^{*}=(kEA)^{*}=A^{*}(kE)^{*} \overset{(kE)^{*} = |kE|(kE)^{-1}=k^n(kE)^{-1}}{=} k^{n-1}A^*
  • (一),(四):
    • 互异，可以相互翻转
    • 相同的，可以抵消(除了A∗A^*)
      • (A∗)∗={∣A∗∣(A∗)−1∣A∗∣(A−1)∗∣A∣n−11∣A∣A(A^*)^*= \left\{\begin{array}{l}|A^*|(A^*)^{-1} \\ |A^*|(A^{-1})^* \\ |A|^{n-1} \frac{1}{|A|} A \end{array}\right.
  • ∣A∗∣=∣∣A∣A−1∣=∣A∣n∣A−1∣=∣A∣n−1|A^*|=||A|A^{-1}|=|A|^n|A^{-1}|=|A|^{n-1}
  • 相似/合同(合同引出二次型)的里面也有二个矩阵:
    • 实对称矩阵的定义是：如果有n阶矩阵A，:

      实对称矩阵

      • 实: 其各个元素都为实数;
      • 对称: 矩阵A的转置等于其本身(AT=AA^T = A)，则称A为实对称矩阵。
        • 二次型矩阵一定是实对称矩阵
        • A可相似−>P为正交对角化\overset{P为正交对角化}{->}A一定是实对称矩阵？
          • 先假设一个A可以相似对角化（普通），那么就有 P−1AP=Λ(为对角阵)⟶A=PΛP−1P^{-1}AP=\Lambda(为对角阵) \longrightarrow A=P\Lambda P^{-1}
          • 所以AT=A=PΛP−1(PΛP−1)T=(P−1)TΛTPT============================再假设P正交对角化,因为正交矩阵的性质，PPT=E,所以P−1=PTPΛP−1⟶AT=AA^T \overset{A=P\Lambda P^{-1}}{=}(P\Lambda P^{-1})^T=(P^{-1})^T \Lambda^T P^T \overset{再假设P正交对角化,因为正交矩阵的性质，PP^T=E,所以P^{-1}=P^T}{============================} P\Lambda P^{-1} \longrightarrow A^T=A，那么A一定是对称的。得证，A一定是对称矩阵
        • 实对称矩阵A和B相似的充要条件是A和B有相同的特征值;
          • 相同特征值表明“重数相等”;
          • AB特征值相同则相似于同一个对角矩阵，根据相似的传递性，A相似与B。
    • 正交矩阵: n阶方阵A, ATA=EA^TA=E ⟶AT=A−1\longrightarrow A^T = A^{-1}
      • 判断合同:
        • 用定义法:A,B合同⇔存在可逆矩阵C,使得CTAC=B.用定义法: \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} 合同 \Leftrightarrow 存在可逆矩阵 \boldsymbol{C} , 使得 \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{B} .
        • 用正、负惯性指数: A,B合同⇔pA=pB,qA=qB.(相同的正、负惯性指数)\mathbf{A}, \boldsymbol{B} 合同 \Leftrightarrow p_{\boldsymbol{A}}=p_{\boldsymbol{B}}, q_{\boldsymbol{A}}=q_{\boldsymbol{B}} . (相同的正、负惯性指数)
          • 同阶实对称矩阵 A,B相似{\color{Red} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} 相似}必合同;
            • A=AT;B=BT,且A～BA=A^T;B=B^T,且A～B
            • 实对称矩阵A,B相似⟶因实对称矩阵→必定可以相似对角化有相同的特征值/特征向量⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶pA=pB,qA=qB(相同的正负惯性指数⇔A,B合同)A,B必合同实对称矩阵A,B相似 \overset{因实对称矩阵 \rightarrow 必定可以相似对角化}{\longrightarrow} 有相同的特征值/特征向量 \overset{p_A = p_B, q_A = q_B(相同的正负惯性指数 \Leftrightarrow A,B合同 )}{\longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow} A,B必合同
        • 用传递性: A合同于C,C合同于B,则A合同于B.\boldsymbol{A} 合同于 \boldsymbol{C}, \boldsymbol{C} 合同于 \boldsymbol{B} , 则 \boldsymbol{A} 合同于 \boldsymbol{B}.

20211215211352

把它向量组合起来，当成一个矩阵，然后想象成一个方程组形式

方程组研究对象

向量是研究方程的理论。

行列式/矩阵 研究工具

行列式一个数。核心是如果求这个数。并且这个数代表的含义是什么？

特征值/二次型应用。

效果图

archive

https://pan.baidu.com/disk/pdfview?path=%2F考研%2F强化%2F线代指导%2F2022张宇考研数学线代9讲.pdf&size=84363937&fsid=183295534477322

李林: https://www.bilibili.com/video/BV1CR4y1J7fx?p=2

https://pan.baidu.com/play/video#/video?path=%2F考研%2F强化%2F05.2022强化专项特训%2F02.2022线代强化%2F15.第5讲线性方程组03.mp4&t=14

https://account.chsi.com.cn/passport/login?entrytype=applystu&service=https%3A%2F%2Fyz.chsi.com.cn%2Fapply%2Fj_spring_cas_security_check%3Bjsessionid%3D3BC4179936F13E60D01441DBA239E0BD

https://pan.baidu.com/disk/pdfview?path=/考研/强化/线代指导/2022张宇考研数学线代9讲.pdf&size=84363937&fsid=183295534477322

极大线性无关组

效果图

副对角行列式的由来:

不是第一行是(-1)(n+1)，最后一行是(-1)(1+1),所以不应该是(-1)^{n(n+3)/2}?

(−1)n(n+3)/2=(−1)n(n−1)/2+2n=(−1)n(n−1)/2(-1)^{n(n+3)/2}=(-1)^{n(n-1)/2+2n}=(-1)^{n(n-1)/2}
一个结果。
你是用的思路是行列式展开定理
我是用的行列式定义算的，用逆序数判断的正负号

行列式每项都包括各行各列一个元素.
观察发现,第一行只能取最后一个数,第二行取倒数第二个数……
所以这样的行列式只有来自副对角元素乘积的一项,
正负号通过列的逆序数判断,τ（n,(n-1),(n-2)……3,2,1）=n(n-1)/2
所以副对角线以上都为零的矩阵的行列式=(-1)^n(n-1)/2乘以所有副对角元素

  • 对于方阵A,B,若AB=E,则A,B互为逆矩阵,且A−1=B,B−1=A,AB=B对于方阵 \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, 若 \boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}, 则 \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}互为逆矩阵, 且\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B}, \boldsymbol{B}^{-1}=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}
    • (1)(A−1)−1=A.\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=\boldsymbol{A} .
    • (2)(AB)−1=B−1A−1(穿脱原则).(\boldsymbol{A B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1} (穿脱原则).
    • (3)k≠0,(kA)−1=1kA−1.k \neq 0,(k \boldsymbol{A})^{-1}=\frac{1}{k} \boldsymbol{A}^{-1} .
    • (4)(AT)−1=(A−1)T.\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{T}} .
    • (5)∣A−1∣=1∣A∣\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}

逆序：（5,4）5>4，则他们是一个逆序
逆序数：（4,2,1,6,3,5）= 3+1+0+2+0

 (1) 0⩽r(Am×n)⩽min⁡{m,n} (2) r(kA)=r(A)(k≠0) (3) r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ) (4) r(AB)⩽min⁡{r(A),r(B)} (5) r(A+B)⩽r([A,B])⩽r(A)+r(B) (6) r([AOOB])=r(A)+r(B) (7) r(A)+r(B)⩽r([AOCB])⩽r(A)+r(B)+r(C) (8) r(AB)⩾r(A)+r(B)−n (9) r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA) (10) r(A∗)={n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1(11)若A2=A,则r(A)+r(A−E)=n(12)若A2=E,则r(A+E)+r(A−E)=n(13)Ax=0的基础解系所含向量的个数s=n−r(A)(14)若A∼Λ,则ni=n−r(λiE−A),其中λi是ni重特征根(15)若A∼Λ,则r(A)等于非零特征值的个数,重根按重数算\begin{array}{l} \text { (1) } 0 \leqslant r\left(\boldsymbol{A}_{m \times n}\right) \leqslant \min \{m, n\}\\ \text { (2) } r(k \boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A})(k \neq 0)\\ \text { (3) } r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{P A})=r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q})=r(\boldsymbol{P A Q})\\ \text { (4) } r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leqslant \min \{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}\\ \text { (5) } r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \leqslant r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}]) \leqslant r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})\\ \text { (6) } r\left(\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right]\right)=r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})\\ \text { (7) } r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant r\left(\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right]\right) \leqslant r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})+r(\boldsymbol{C})\\ \text { (8) } r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \geqslant r(\boldsymbol{A})+ r (\boldsymbol{B})-n\\ \text { (9) } r(\boldsymbol{A})=r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)=r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)=r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)\\ \text { (10) } r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=\left\{\begin{array}{ll} n, & \boldsymbol{r}(\boldsymbol{A})=n \\ 1, & r(\boldsymbol{A})=n-1 \\ 0, & r(\boldsymbol{A})<n-1 \end{array}\right. \\ (11) 若 \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A} , 则 r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n \\ (12) 若 \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{E} , 则 r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n \\ (13) A x=0 的基础解系所含向量的个数 s=n-r(A) \\ (14) 若 \boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{\Lambda} , 则 n_{i}=n-r\left(\lambda_{i} \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right) , 其中 \lambda_{i} 是 n_{i} 重特征根 \\ (15) 若 \boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{\Lambda} , 则 r(\boldsymbol{A}) 等于非零特征值的个数, 重根按重数算 \\ \end{array}